1.1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理 知识梳理 1.平面向量中的结论 （1）共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa. （2）平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb. 2.空间中的共线向量基本定理 两个空间向量a，b，如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，难得b=λa. 点睛： 证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使=λ(或=λ)即可；也可用“对空间任意一点O，有=t+(1-t)”来证明三点共线. 3.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb. 4.空间向量基本定理 如果空间中三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 常见考点 考点一 判定空间向量共面 典例1．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间共面向量的定义进行判断即可. 【详解】 由 ， 所以A，B，C，P四点共面， 故选：B 变式1-1．对于空间的任意三个向量､､，它们一定是（       ） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 【答案】A 【解析】 【分析】 结合共面向量定理及共线向量判断即可. 【详解】 若､不共线，则由共面向量定理知，､､共面；若､共线，则､､共线，也共面. 故选：A. 变式1-2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案. 【详解】 设，若点与点共面，则， 只有选项D满足. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时， 且，则是解答的关键. 变式1-3．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量共面定理即可判断出结论． 【详解】 解：向量，，不共面， A，，因此三个向量共面； B，，因此三个向量共面； C，若，，共面，则存在实数，使得， 故，这与，，不共面矛盾，故三个向量不共面； D，，因此三个向量一定共面． 故选：C． 考点二 根据空间向量共面求参数 典例2．已知三点不共线，O是平面外任意一点，若由确定的一点P与三点共面，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点P与三点共面，可得，从而可得答案. 【详解】 解：因为点P与三点共面，且， 所以，解得. 故选：A. 变式2-1．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则的值可能为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由四点共面结合已知条件可得，从而可得答案 【详解】 ，且四点共面， ，即，结合选项知只有符合. 故选：C. 变式2-2．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用空间四点共面可知，直接求的值. 【详解】 因为M，A，B，C共面，则，得. 故选：A 【点睛】 本题考查空间四点共面定理，属于基础题型. 变式2-3．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间四点共面的充要条件代入即可解决. 【详解】 ，即 整理得 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得 ，解之得 故选：B 考点三 空间向量基底的概念辨析 典例3．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　 A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论． 【详解】 解：由题意和空间向量的共面定理， 结合， 得与、是共面向量， 同理与、是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面， 所以与、构成空间的一个基底． 故选：．