1.2.1 命题与量词-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2常用逻辑用语 1.2.1命题与量词 知识梳理 1.命题的概念 可供真假判断的陈述语句是命题，而且， 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 2. 量词 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体. 用符号“”表示. 全称量词命题：含有全称量词的命题. 对集合中所有元素成立，可简记为∀x∈M，p(x). （2）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分. 用符号“”表示. 存在量词命题：含有存在量词的命题. 存在集合中所有元素成立，可简记∃x∈M，p(x). 常见考点 考点一 命题的概念 典例1．给出下列语句： ①和为有理数的两个数均为有理数． ②作． ③这是一棵大树． ④求证：是无理数． ⑤二次函数的图象太美啦！ ⑥4是集合中的元素． 其中命题的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】 判断语句是否为命题的依据是命题的定义，即命题是能够判断真假的陈述句，所以疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题． 【详解】 命题是指可以判断真假的陈述句，所以①⑥是命题；②④是祈使句，不是命题；③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑤是感叹句，不是命题． 故选：A. 变式1-1．下列语句不是命题的是（ ） A． B．存在实数使 C．至少有一个实数，使能被3或7整除 D．对，有 【答案】A 【分析】 利用命题的定义逐个分析判断即可 【详解】 时，∴B正确； 时，x能被3和7整除，∴C正确； ∵，∴，∴D正确； ∵x不确定，∴的值不确定，∴不是命题. 故选：A. 变式1-2．下列不是命题的是（ ） A． B．三角形中最多只有一个内角是钝角 C． D．平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】 根据命题的定义即可判断． 【详解】 能判断真假的陈述句为命题 对A，集合是本身的子集，故A是假命题； 对B，三角形中最多只有一个内角是钝角是真命题； 对C，不能判断真假，故不是命题； 对D，平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是真命题． 故选：C 变式1-3．下列语句是命题的是（ ） A．鹿晗很帅 B．请把手机收起来！ C． D． 【答案】D 【分析】 根据命题定义判断即可． 【详解】 能够判断真假的陈述句叫命题， 则只有，能够判断真假， 故只有D是命题， 故选：D． 考点二 判断命题的真假 典例2．下列命题为假命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】 易知A，B，C均为真命题．对于D，当，，时，，但，D为假命题． 故选：D． 变式2-1．下列命题是真命题的是（ ） A．如果与互为相反数，那么 B．，方程最多有一个实数根 C．为任意一个自然数，则 D．任何两个无理数之间都有一个有理数 【答案】D 【分析】 根据题意，依次判断各命题即可求得答案. 【详解】 解:对于A选项，当时，满足与互为相反数，不满足，故A选项错误； 对于B选项，当时，方程有无数个实数根，故错误； 对于C选项，当，不满足，故错误； 对于D选项，任何两个无理数之间都有一个有理数，正确. 故选：D 变式2-2．下列命题是真命题的是（ ） A．3能被2整除 B．对顶角不相等 C．5是偶数 D． 【答案】D 【分析】 结合整除的定义、对顶角的概念和奇数偶数的概念依次判断选项即可. 【详解】 3不能被2整除，故A错误； 对顶角相等，故B错误； 5是奇数，故C错误； 7>6，故D正确. 故选：D 变式2-3．语句“若，则”是（ ） A．不是陈述句 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假 【答案】B 【分析】 利用不等式的性质以及命题与真命题的定义求解即可． 【详解】 因为可以判断真假的语句叫命题，判断为真的语句叫做真命题， 而当时，一定 成立． 所以语句“若，则”是真命题 故选：B． 考点三 指出命题的条件和结论 典例3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】 分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】 （1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 变式3-1．将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【答案】答案见解析．