1.2.3 充分条件、必要条件-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 知识梳理 1.充分条件、必要条件 （1）在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q；否则，称由p推不出q，记作pq. （2）当pq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件. （3）当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 2. 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件 （1）如果pq且qp，则称p是q的充分不必要条件. （2）如果pq且qp，则称p是q的必要不充分条件. （3）如果pq且qp，则称p是q的充要条件. （4）如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件. 3.从集合角度来判断充分与必要 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，则 （1）若A⊆B，则p是q的充分条件． （2）若B⊆A，则p是q的必要条件． （3）若A＝B，则p是q的充要条件． 常见考点 考点一 判断充分条件、必要条件 典例1．设，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】 ，必要性满足，但时，仍然有，充分性不成立． 故选：D． 变式1-1．实数，“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】 根据充分、必要性的定义，判断题设条件间的推出关系，即可确定它们的充分、必要关系. 【详解】 当时，必有，但不一定，如：显然不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 变式1-2．已知函数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 利用直接法，互为条件进行推导即可得解. 【详解】 由，解得或 即推不出； 但是由可以得出， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 变式1-3． “”是“且”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据a、b的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】 解：取，满足，但不满足且，即“”推不出“且”；由且时，可推得. ∴“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B． 典例2．已知命题，命题，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 直接利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为命题，命题， 所以当命题成立时，命题一定成立； 当命题成立时，命题不一定成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A 变式2-1．“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．即不充分也不必要 【答案】B 【分析】 根据充分条件和必要条件的概念，结合题意，即可得到结果. 【详解】 因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 变式2-2．设，则“”是“”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】 根据定义，分充分性和必要性分别讨论即可得到答案. 【详解】 充分性：取，满足“”但是不满足“”，即充分性不满足； 必要性：对任意都满足，即必要性满足. 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 变式2-3．已知是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由得或，再利用充分不必要条件定义判断得解. 【详解】 解：由得得或， 因为当时，或成立， 当或时，不一定成立， 所以“”是“”的的充分不必要条件， 故选：A． 典例3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今"青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（ ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】 先阅读理解题意，再利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立， 反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立， 故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件. 故选：A. 变式3-1．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分