1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 知识梳理 1.命题的否定 （1）命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作非p或p的否定. （2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题. （3）如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定就应该是真命题. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x）"的否定是﹁p：∃x∈M，¬q(x). （2）一般地，全称量词命题"x∈M，q（x）”的否定是﹁p：∀x∈M，¬p(x). （3）结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 常见考点 考点一 全称量词命题的否定 典例1．全称量词命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．以上都不正确 【答案】C 【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论. 【详解】 全称量词命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 变式1-1．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将全称命题否定为特称命题即可 【详解】 命题“”的否定是， 故选：C 变式1-2．设命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】 根据命题的否定的定义判断． 【详解】 全称命题的否定是特称命题， 命题：，，的否定为： ，． 故选：A． 变式1-3．命题：“”的否定是（ ） A．不存在 B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据全程量词命题的否定是存在量词命题可得答案. 【详解】 由题意命题“”是全称命题，故它的否定是：． 故选：C 考点二 特称量词命题的否定 典例2．已知命题，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据特称命题的否定可直接得到结果. 【详解】 根据特称命题的否定可知：，. 故选：D. 变式2-1．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】 根据全称命题与存在性命题的关系， 可得命题：“，”的否定为：“，”. 故选：D. 变式2-2．命题“x＞0，x2＞2x的否定是（ ） A．x0，x2＞2x B．∀x0，x22x C．∀x＞0，x22x D．x＞0，x2＜2x 【答案】C 【分析】 根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，由此求解出结果. 【详解】 变为，的否定为， 所以原命题的否定为“，”， 故选：C. 变式2-3．设命题，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据特称命题的否定是变量词否结论即可求解. 【详解】 命题，则为：， 故选：C. 考点三 全称命题与特称命题的否定的写法或真假判断 典例3．写出下列命题的否定，并判断真假． （1）正方形都是菱形； （2）x∈R，使4x-3>x； （3）∀x∈R，有x+1=2x； （4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集． 【答案】 （1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 （4）答案见解析 【分析】 根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可. （1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． （2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题． （3）命题的否定：x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“x∈R，使x+1≠2x”是真命题． （4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题． 变式3-1．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． （1）∀x∈R，x2>0； （2）x∈R，x2＝1； （3）x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根； （4）等腰梯形的对角线垂直． 【答案】答案见解析 【分析】 (1)根据全称命题的否定是特称命题可得出其命题的否定，并取值可判断命题的真假； (2)根据特称命题的否定是全称命题可得出命题的否定，取值判断命题的真假； (3)根据全称命题的否定是特称命题可得出其命题的否定，并取值可判断命题的真假； (4) 根据全称命题的否定是特称命题可得出其命题的否定，并由梯形的性质可判断命题的真假． 【详解】 解：(1)命题的否定：x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假． (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题