1.1.2 集合的基本关系-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.2集合的基本关系 知识梳理 1.子集 一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集. （1）记作：； （2）读作：包含于或包含；； （3）不是的子集，记作：A⊈B或B⊉A，. （4）性质：A⊆A；⊆A. 2.真子集 一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集， （1）记作：AB或BA； （2）读作：A真包含于B或B真包含A； （3）性质：①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果，，则． 3.集合的相等 一般地，如果集合和集合的元素完全相同，则称集合与集合相等. （1）记作A＝B； （2）读作：A等于B； （3）且，则； （4），则且. 4.子集或真子集的个数 （1）集合元素个数为n,子集个数为 （2）集合元素个数为n,真子集个数为 （3）集合元素个数为n,非空子集个数为 （4）集合元素个数为n,非空真子集个数为 常见考点 考点一 求集合的子集（真子集） 典例1．写出下列集合的所有子集： ； ； ． 【答案】，；，，，；，，，，，，，. 【分析】 根据所给集合列出相应子集即可. 【详解】 解：，. ，，，. ，，，，，，，. 变式1-1．写出集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集． 【答案】，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2} 【分析】 先求得，然后求得的所有真子集. 【详解】 依题意A＝{0，1，2}，其真子集为：，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}． 变式1-2．写出集合{a，b，c}的所有子集？写出集合{a，b，c，d}的所有子集？ 【答案】答案见解析 【分析】 根据子集的定义进行求解即可. 【详解】 集合{a，b，c}的所有子集为: ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}. 集合{a，b，c，d}的所有子集为: ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}. 变式1-3．已知集合. （1）用列举法表示集合A； （2）写出集合A的所有子集. 【答案】（1）；（2）； 【分析】 （1）由集合A的描述列举出所有元素，按列举法写出集合A. （2）根据子集的定义，由（1）所得的集合中的元素，写出所有子集 【详解】 （1）由已知集合A可知：； （2）由（1）知：集合A的所有子集有； 考点二 判断集合的子集（真子集）的个数 典例2．已知集合，则集合的非空子集个数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】 根据子集的概念写出集合的所有子集，再去掉空集可得答案. 【详解】 集合所有子集为：，，，，，，，， 其中非空子集为：，，，，，，，共7个. 故选：A 变式2-1．已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．32 B．16 C．15 D．31 【答案】D 【分析】 根据以及求出的值，可得集合中元素个数，再利用公式计算可得答案. 【详解】 因为，所以，即， 又，所以或或或或或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 所以集合，其真子集的个数为个. 故选：D 变式2-2．满足的集合 的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知条件可知集合中必有，集合还可以有元素，写出集合的所有情况即可求解. 【详解】 因为集合满足， 所以集合中必有，集合还可以有元素， 满足条件的集合有：，，，，，，， 共有个， 故选：A. 变式2-3．满足的集合有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】 根据题意，可知集合中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，即可列举出集合的所有情况，从而得出答案. 【详解】 解：由题意， 可以确定集合中必含有元素1，2，且最多含有4个元素， 因此集合可以是，共7个． 故选：B. 考点三 判断两个集合的包含关系 典例3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用集合的包含关系即可求解. 【详解】 解：∵，，∴， 故选：A. 变式3-1．已知集合M，下列选项正确的是（ ） A．M B．M C．M D．M 【答案】B 【分析】 由元素与集合的关系和集合与集合的关系即可得到答案. 【详解】 易知B正确； 根据集合与集合的关系可知，A、D错误； 根据元素与集合的关系可知，C错误. 故选：B. 变式3-2．若集合，则下面结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B