1.1.1 集合及其表示方法-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.1集合及其表示方法 知识梳理 1．元素与集合的概念 （1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个集合． （2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素. （3）集合通常用大写字母A,B,C,…表示，集合的元素通常用小写字母a,b,c,…表示. 2．集合的元素具有以下特点：确定性、互异性、无序性. 3．元素与集合的关系 （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作． （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作． 4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母、、、、来表示． 5．集合的分类 （1）空集：不含任何元素，记作. （2）非空集合：有限集：含有有限个元素；无限极：含有无限个元素. 6.集合的表示方法 （1）列举法 把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法． （2）描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)成为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法. （3）其他表示方法：区间法；数轴法；韦恩图法. 常见考点 考点一 判断元素能否构成集合 典例1．下列对象能构成集合的是（ ） A．高一年级全体较胖的同学 B．接近于0的数 C．全体很大的自然数 D．平面内到三个顶点距离相等的所有点 【答案】D 【分析】 根据集合中元素的确定性，即可判断对象能否构成集合. 【详解】 解：A中的“较胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都没有一个明确的标准， 不满足元素的确定性，所以A，B，C中的对象均不能构成集合， 显然D中的对象满足元素的确定性，则能构成集合． 故选：D． 变式1-1．下列能构成集合的是（ ） A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．数学必修第一册课本中所有的难题 【答案】C 【分析】 根据集合的定义可直接确定结果. 【详解】 构成集合的元素具有确定性， 选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确. 故选：C. 变式1-2．判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③的近似值；④不大于5的自然数（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】 根据集合的确定性直接得到答案. 【详解】 ①湖北省所有的好学校，不具有确定性，不能构成集合； ②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以构成集合； ③的近似值，不具有确定性，不能构成集合； ④不大于5的自然数时0，1,2,3,4，能构成集合. 故选：C. 变式1-3．以下各组对象不能组成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．电白区内的小河流 C．方程的实数解 D．周长为10的三角形 【答案】B 【分析】 根据集合的元素特征，逐个判断即可得解. 【详解】 根据集合元素的确定性， 易知：B答案中的小河流，是不确定的，故不能构成集合， 而A，C，D项中集合的元素均确定， 故选：B. 考点二 判断是否为同一集合 典例2．下列集合与集合相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 通过确认各个选项中的集合中的元素即可得到结果. 【详解】 集合表示数字和的集合. 对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误； 对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误； 对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确； 对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误. 故选：C. 变式2-1．下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用集合相等的定义求解. 【详解】 A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故 B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故 C选项中因为，则集合故 D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故． 故选：C． 变式2-2．下列各组中的、表示同一集合的个数是（ ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用集合相等的概念判断. 【详解】 在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 变式2-3．下列各组集合中，M与P表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据相同集合的判定方法，逐项判断，即可得出结果. 【详解