1.1.1 空间向量及其线性运算(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.1 空间向量及其线性运算 一、空间向量相关概念 1、空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 2、空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3、空间向量的有关概念： （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 二、空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （2）运算律：分配律：； 结合律：． 三、向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示， 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 四、空间向量共面定理 1、定义： 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合， 那么称向量平行与直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2、向量共面的充要条件： 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、向量共面证明： （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 题型一 空间向量及其相关概念的理解 【例1】下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D 【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误； D符合定义，正确.故选：D. 【变式1-1】下列命题为真命题的是（ ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【解析】空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.故选：D. 【变式1-2】在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量； 对于③与，易知是平行四边形， 则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量； 对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同． 故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．故选：B. 【变式1-3】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相