1.2 空间向量基本定理(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.2 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量不共面， 那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面， 那么所有空间向量组成的集合就是， 这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底， 都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 二、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用表示。 2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。 题型一 空间向量基底的概念辨析 【例1】若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：令，则，，A正确； 选项B：因为，所以不能构成基底； 选项C：因为，所以不能构成基底； 选项D：因为， 所以不能构成基底．故选：A. 【变式1-1】设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组： ①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图，作平行六面体，，，， 则，，，， 由平行六面体知，共面，不共面， 不共面，不共面， 因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C． 【变式1-2】设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是 A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意和空间向量的共面定理， 结合，得与、是共面向量， 同理与、是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C． 【变式1-3】下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【答案】C 【解析】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误； 对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确； 对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C 【变式1-4】已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，，共面，由共面向量定理知， 存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是．故选：B 题型二 用基底表示空间向量问题 【例2】在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 所以，，故选：D. 【变式2-1】在四面体中，，点在上，且为中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点M在线段OA上，且，N为BC中点， ∴，， ∴．故选：B． 【变式2-2】如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B 【变式2-3】如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在平行六面体中， M为，的交点,，，， 所以 . 题型三 空间向量基本定理的应用 【例3】如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理求解，即用表示出即可得． 【解析】由题意， 又， 所以，．故选：C． 【变式3-】若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案. 【解析】依题意， 设，即， 所以， 所以在另一组基底下的坐标为.故选：B 【变式3-2】在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R