1.1.2 空间向量的数量积运算(精练)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.2 空间向量的数量积运算 【题组1 求空间向量的数量积】 1、四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】依题意，四面体ABCD是正四面体， 对于A，，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，因是的中点，则， 而，，C不是； 对于D，因是的中点，则，，D是. 故选：BD 2、如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，分别是的中点， 所以， 三角形是等边三角形，且边长为. 所以.故选：B 3、在三棱锥中，，，，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为三棱锥中，，，， 所以. 4、如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】 故选：B 5、如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得, , ．故选：B 6、棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 因为，， 所以， ， ．故选：D． 7、在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，＝（ ） A．－1 B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【解析】设是中点，由于， 所以， 由于，所以平面，所以. .故选：B 【题组2 利用空间向量求角度】 1、已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求： （1）； （2）向量与的夹角. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，是两个空间单位向量，它们的夹角为， 所以， 所以； （2）因为， 所以，， 又因为，所以， 因为，所以，即向量与的夹角为. 2、在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值． 【答案】 【解析】， ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16， ∴ 3、如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值． 【答案】 【解析】设，，， 则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°， ∴． ∵ ． ∴，故所成角的余弦值为 4、如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求: （1）的长；（2）直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），， 故，所以的长为； （2） ，由（1）知：， 设直线与所成角为 ∴， ∴直线与所成角的余弦值为. 5、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：（1）的长；（2）与夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）记，，， 则，， ， ， ，即的长为； （2），， ，， ，， 又， ， 即与夹角的余弦值为. 6、如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，， （1）用，，表示；（2）求向量与向量所成角的余弦值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）因为，，， 所以. （2）因为空间四边形的各边及对角线长为， 所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为， 所以， ， ， 所以，所以， 所以向量与向量所成角的余弦值为. 【题组3 利用数量积求长度】 1、已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）． A． B．97 C． D．61 【答案】C 【解析】∵， ∴，故选：C. 2、已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=_____. 【答案】 【解析】∵空间向量､､是两两互相垂直的单位向量， ∴， ∴. 3、平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为底面是边长为2的正方形，侧棱，且， 则 ，，，，，， 则 4、如图，在三棱柱中，与交于点，，，，，则线段的长度为（ ） A．