1.1.2 空间向量的数量积运算(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.2 空间向量的数量积运算 一、空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作， 即． 2、数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 二、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 三、空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：. 那么空间两个向量、的夹角的余弦. 2、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一： （1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小 （2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 四、求空间向量数量积的步骤 1、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式， 2、利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， 3、代入求解. 五、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 题型一 求空间向量的数量积 【例1】已知向量，向量与的夹角都是，且， 试求：（1）； （2）． 【答案】（1）11；（2） 【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且， ∴ （1）=＝1+16+9+0-3-12=11； （2）=＝0--8+18= 【变式1-1】如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据向量的加法法则得， 因为正方体的边长为1，为体对角线，所以， 所以在直角三角形中， 所以，故选：A 【变式1-2】如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 故. 【变式1-3】已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为E，F分别是BC，AD的中点， 所以，， 又因为正四面体ABCD的棱长都为1， 所以， 故. 【变式1-4】如图，四棱锥中，垂直平分.，则的值是__． 【答案】 【解析】设的中点为, 因,, 所以,即, 所以, 又因为,即, 所以 题型二 利用数量积求角度 【例2】如图，已知正方体，设，，，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为1， 因为 所以， 又， ， 又，故选：D. 【变式2-1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得， ， 从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，故选A. 【变式2-2】⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角. 【答案】60° 【解析】如图所示. 因为 故 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 故 故 又 故. 而，故可得， 又∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴异面直线BA1与AC成60°角. 【变式2-3】若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为. 而， 则 所以. 【变式2-4】已知空间向量，，设，，与垂直，，，则________． 【答案】 【解析】∵，∴，化简得， 又∵， ， ， ∴，∴．故答案为：. 题型三 利用数量积求长度 【例3】已知空间中单位向量、，且，则的值为________. 【答案】 【解析】， 故. 【变式3-1】如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ） A． B． C．或 D．3或 【答案】A 【解析】取AC的中点E，连接ME、EN， 又，分别为和的中点， ∴ME∥BC，且，∥AD，且， ∵向量与向量的夹角为， ∴向量与向量的夹角为， 又， ∴， ∴，即线段长为.故选：A. 【变式3-2】如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正