第02讲 平面向量基本定理及坐标表示-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 知识点1 平面向量基本定理 1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 注：(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． 知识点2 平面向量的坐标运算 1．向量的加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． 2．向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 知识点3 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． [注意]　(1)a∥b的充要条件不能表示为 ＝，因为x2，y2有可能为0；(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 知识点4 常用结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 考点一 平面向量基本定理的应用 解题方略： 1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 （一）对基向量概念的理解 1、若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1　　　　 B．e1＋e2，e1－e2 C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2 【解析】由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D，2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意．故选B． 2、【多选】下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【解析】A，D选项，，不平行，可以作为基底； B选项，零向量和任意向量平行，所以，不能作为基底； C选项，，所以，平行，不能作为基底. 故选：BC. 3、【多选】已知向量、不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（       ） A． B． C． D． 【解析】因为向量、不共线，对于A选项，设、共线，可设， 可得出，无解，所以，、不共线，A中的向量能作基底， 同理可知CD选项中的向量也可作平面向量的基底， 对于B选项，因为，所以， 所以不能作平面向量的基底． 故选：ACD. 4、【多选】已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（       ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为 【解析】，A错误； 根据题意，B错误； ∵，即与不共线，则与可以作为一组基底，C正确； 在方向上的投影向量为 D正确； 故选：AB． 5、如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（       ） A．，是该平面所有向量的一组基底， B．，是该平面所有向量的一组基底， C．，不是该平面所有向量的一组基底， D．，不是该平面所有向量的一组基底， 【解析】由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底， 且， 故选：A. （二）用基底表示向量 6、在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－ D．－＋ 【解析】如图，可知＝＋＝－＝－＝－．故选B． 7、若M为△ABC的边AB上一点，且，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，所以. 故选：D. 8、在中，已知点是的四等分点（靠近点），则（       ） A． B．