第01讲 平面向量的概念及线性运算-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第1讲 平面向量的概念及线性运算 知识点1 向量的有关概念 1． 向量：既有大小又有方向的量叫做向量 数量：只有大小没有方向的量称为数量. 注：向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小 2． 向量的表示 (1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. 易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段. 有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示， (2)表示方法： 几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 3． 向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0 4．零向量：长度为的向量，记作0. 零向量的方向是任意的. 5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同. 注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量， 注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行． ③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 注：共线向量中“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义，共线向量中的“共线” 对应平面几何中的两种情况—— ①表示两个向量的有向线段在同一直线上； ②表示两个向量的有向线段所在的直线互相平行. 易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反 零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反 （2）若，，则 若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行 （3） 若，则或 向量的长度相等，但方向不一定相同或相反 （4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线 两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行 7． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相等的向量方向相同且长度相等，所以相等向量一定是共线向量； 但是共线向量的模不一定相等，所以共线向量不一定是相等向量. 8．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点3 常用结论 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．已知＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1． 考点一 平面向量的有关概念 解题方略： 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆； (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 1、下列命题中正确的是(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若a和b都是单位向量，则a＝b D．两个相等向量的模相等 【解析】则若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，A错误；模相等的两个平行向量可能是相等向量也可能是相反向量，B错误；若a和b都是单位向量，但是两向量方向不一致，则不满足a＝b，C错误；两个相等向量的模一定相等，D正确，故选D． 2、(多选)给出下列命题，其中假命题为(　　) A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反 D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同 【解析】对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同． 3、设