假期作业10 几种简单几何体的表面积与体积-2022新教材高一数学湘教版暑假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业十　几种简单几何体的表面积与体积 1．柱体、锥体、台体体积之间的关系？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 3．圆柱、圆锥、圆台体积公式之间有什么关系？ 4．球的体积V与球的表面积S之间有什么关系？ 【例1】　已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积． 【解】　如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12. 连接OE，O1E1， 则OE＝AB＝×12＝6， O1E1＝A1B1＝3. 过E1作E1H⊥OE，垂足为H， 则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以E1E＝3. 所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3＝108. 【方法指导】　解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决． 【例2】　一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求球的表面积． 第二步，精读题目挖已知条件：球内有相距9 cm的两个平行截面的面积分别为49π cm2和400π cm2. 第三步，建立联系寻解题思路：分截面在球心的同侧和截面在球心的两侧两种情况讨论． 第四步，书写过程养规范习惯． 【解】　 ① (1)当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2， 设球的半径为R，∵πO2B2＝49π， ∴O2B＝7 cm， 同理得：O1A＝20 cm. 设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm， 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，② 联立①②可得x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π cm2， 故球的表面积为2 500π cm2. ② (2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R， ∵π·O2B2＝49π， ∴O2B＝7 cm. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm. 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴ x2＋400＝(9－x)2＋49， 解得x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm2. 【方法指导】　1.把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，与球的体积、表面积相关的计算题目也就迎刃而解了． 2．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常构造该直角三角形求解，并常构造过球心和截面圆心的轴截面． 1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　) A．2　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 2．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　) A． B． C． D． 3．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是(　　) A． B． C． D． 4．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π B．4π C．9π D．12π 5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．体积是π 6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 7．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为____________ cm2，体积为____________cm3. 8．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O