假期作业8 直线与直线、直线与平面的位置关系-2022新教材高一数学湘教版暑假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业八　直线与直线、直线与平面的位置关系 1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 2．若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？ 3．直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？ 4．过一点有几条直线与已知平面垂直？ 【例1】　 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 【思路探究】　(1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD便可； (2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH便可． 【解】　(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD. ∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH， EH⊂平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 【方法指导】　1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线． 2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实等． 【例2】　 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【证明】　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. 【方法指导】　证线面垂直的方法 (1)线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)； ②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 1．(多选)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直 2. 如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为(　　) A．30°　　　　　　　　　B．45° C．60° D．90° 3．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是(　　) A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α B．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线 C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n 4. 如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　) A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC 5. 如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线CA上 D．△ABC内部 6．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________． 7．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 8. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有____________个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 9. 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点． (1)求证：PQ∥平面DCC1D1； (2)求PQ的长； (3)求证：EF∥平面BB1D1D. 10. 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面AA1D1D所成的角． 1．如何得到直线A