假期作业5 三角恒等变换-2022新教材高一数学湘教版暑假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业五　三角恒等变换 1．两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？ 2．两角和与差的余弦公式的结构特征是什么？可用什么口诀记忆？ 3．对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？ 4．辅助角公式是如何推导出来的？ 5．半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？ 【例1】　(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β＝________． (2)已知向量＝(5，12), 将向量绕原点O顺时针旋转60°到的位置，则点A′的坐标为________． 【思路探究】　1.先由已知的三角函数值，选择适当的三角函数名求出所求角的三角函数值，再由已知角的范围，确定所求角的值． 2．利用向量的几何意义、三角函数的定义、两角差的正余弦公式解答． 【解析】　(1)因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝. 所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－ 又因为α，β均为锐角，所以－<α－β<，故α－β＝－. (2)如图，设A′(x，y), ∠xOA＝α， 所以∠xOA′＝α－60°， 则|OA|＝＝13，所以cos α＝，sin α＝， 因此x＝13cos (α－60°)＝13(cos αcos 60°＋sin αsin 60°) ＝13＝ 同理y＝，所以A′. 【答案】　(1)－　(2) 【方法指导】　1.解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”． 2．解决给值求角问题的一般思路 (1)确定角的范围； (2)求角的正弦或余弦值； (3)根据角的范围写出要求的角． 【例2】　已知函数f(x)＝cos －2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. 【思路探究】　→→分析f(x)在上的单调性→ 【解析】　(1)f(x)＝cos (2x－)－2sin x cos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以T＝＝π. (2)令t＝2x＋，因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤， 因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)≥sin ＝－，得证． 【方法指导】　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略： 运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质． 1．(多选)下列化简结果正确的是(　　) A．cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．cos 15°－sin 15°＝ D．＝ 2．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin (α＋β)＝，则cos α＝(　　) A．　　　　　　　　　B． C． D． 3．cos 2α－cos αcos (60°＋α)＋sin2(30°－α)的值为(　　) A． B． C． D． 4．若tanθ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 5．已知函数f＝(x)＝， 则有(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)的最小正周期为 D．函数f(x)在内单调递减 6．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________． 7.(2π<α<3π)的化简结果为________． 8. 如图，点P1为锐角θ的终边与单位圆的交点，OP1逆时针旋转得OP2，OP2逆时针旋转得OP3，…，OPn－1逆时针旋转得OPn，则sin 2θ＝________，点P2022的横坐标为________． 9．已知4sin 2α＋3cos 2α＝0，<α<，－<β<0. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)若sin (α＋β)＝，求cos (α－β)的值． 10．已知函数f(x)＝cos －2sin x cos x. (1)求f(x)的最小正周期以及对称轴方程； (2)设函数g(x)＝f－f，求g(x)在上的值域． 在①sin α＋cos α＝－，②tan α＝－ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 已知α为第二象限的角，____________． (1)求sin α和