假期作业4 解三角形、平面向量的应用举例-2022新教材高一数学湘教版暑假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业四　解三角形、平面向量的应用举例 1．在△ABC中，若b2＋c2>a2，则此三角形是锐角三角形．对吗？ 2．在△ABC中，必有a sin C＝c sin A．对吗？ 3．若已知三角形的两边及其中一边所对的角，三角形的解是否唯一？ 4．利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题？ 5．利用余弦定理可以解决哪些问题？ 【例1】　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. 【思路探究】　①角A，B，C满足什么关系； ②105°可拆分成哪两个特殊角的和； ③由正弦定理如何求得b，c的值． 【解】　∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝＝10. b＝＝＝20sin (60°＋45°)＝5(＋). ∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10. 【方法指导】 1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 2．适用正弦定理的两种情形： (1)已知三角形的任意两角与一边． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角． 【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S. 【思路探究】　根据C＝及cos ＝.利用sin A＝sin (B＋C)求出sin A的值．然后利用正弦定理＝求出c值．利用S＝ac sin B求解． 【解】　∵cos ＝， ∴cos B＝2cos2－1＝. ∴B∈，∴sinB＝. ∵C＝，∴sin A＝sin (B＋C) ＝sin B cos C＋cos B sin C＝. ∵＝，∴c＝＝×＝. ∴S＝ac sin B＝×2××＝. 【方法指导】　已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A. 1．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　) A．5 N　　　　　　　B．5 N C．10 N D．5 N 2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于(　　) A．135° B．90° C．45° D．30° 3．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　) A．＋表高 B．－表高 C．＋表距 D．－表距 4．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80° 5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．12米 6．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走________．(结果精确到0.1 km)(参考数据：≈1.41，≈1.73) 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________． 8．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度的大小为3 km/h，方向为正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度的大小为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度大小横渡，则船本身的速度大小为____________，船航行的方向为__________________________． 9．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，b＝，求c的值． 10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(b，－a)与n＝(cos A，sin B)垂直． (1)求A； (2)若B＋＝A，a＝2，求△ABC的面积． 在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 1．要求cos A的值，选用正弦定理还是余弦定理？ 2．要求c的值，选用正弦定理还是余弦定理？ 3．选用余弦定理计算时，问题2会得到两个解，如何取舍？ 学科网（北京）股份有