假期作业3 向量的数量积-2022新教材高一数学湘教版暑假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业三　向量的数量积 1．向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ 2．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？ 3．已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 4．若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为锐角，则x1x2＋y1y2>0；反之，若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足x1x2＋y1y2>0，则它们的夹角为锐角．对吗？ 【例1】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ ，求|b|. 【思路探究】　灵活应用a2＝|a|2求向量的模． (1)【解析】　|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2 ＝22＋2×2×2× ＋22＝4＋4＋4＝12， 所以|a＋2b|＝ ＝2 . 【答案】　2 (2)【解】　因为|2a＋b|＝ ， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|× ＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 或|b|＝－3 (舍去). 【方法指导】　求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·a＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 【例2】　(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞)　　　　B．∪ C．(－∞，－2) D．(－2，2) (2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． 【思路探究】　(1)可利用a，b的夹角为锐角⇔求解． (2)设出点D的坐标，利用与共线，⊥列方程组求解点D的坐标． (1)【解析】　当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B. 【答案】　B (2)【解】　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2). ∵点D在直线BC上，即与共线， ∴存在实数λ，使＝λ， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)， ∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴·＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0， 即2x＋y－3＝0.② 由①②可得 即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)， ∴||＝＝， 综上，||＝，D(1，1). 【方法指导】　利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式 cos θ＝＝求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值． 1．(多选)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A．|a|＝|b| B．a⊥c C．b∥c D．θ＝135° 2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是(　　) A．＋＋＝0 B．(－)·(－)＝0 C．(·)＝(·) D．|＋|＝|＋－| 4．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 5．已知向量a＝(，3)，b＝，则向量a与2b的夹角是(　　) A． B． C． D． 6．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在向量e上的投影向量是________；向量e在向量a上的投影向量是________． 7．设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m).若(a＋c)⊥b，则|a|＝________． 8．已知向量a＋b＋c＝0，＝1，＝＝2，a·b＋b·c＋c·a＝______． 9．(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与