假期作业2 向量的分解与坐标表示-2022新教材高一数学湘教版暑假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业二　向量的分解与坐标表示 1．设e1，e2是不共线的向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2，则{a，b}可以作为一个基底吗？ 2．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底吗？ 3．两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．对吗？ 4．向量的坐标就是向量终点的坐标．对吗？ 5．两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b的充要条件是什么？ 【例1】　(1)(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝－a－b　　　　B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a (2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，. 【思路探究】　用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则． (1)【解析】　如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确； ＝＋＝a＋b，B正确； ＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确． 【答案】　ABC (2)【解】　＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋＝b－a. 【方法指导】　用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： ＝(＋) 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 【例2】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【解】　法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b). 由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－<0， 所以ka＋b与a－3b反向． 法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b)， 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 【方法指导】　利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． 1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一个基底，那么下列命题中正确的是(　　) A．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一 C．若有实数λ1，λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0 D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2不一定存在 2．(多选)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知＝，且向量＝(tan α，1)，＝(2tan α，－3)，则＝(　　) A．(3，－2) B．(－3，－2) C．(1，－4) D．(－1，4) 4．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于(　　) A．3 B．－3 C．－ D． 5．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E，设＝λ，则λ等于(　　) A．2 B． C．－3 D．－ 6．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底来表示＝__________，＝______________． 7．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 8．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________． 9. 在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示. 10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)，O为坐标原点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值． 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且