第07讲 基本不等式-2022年暑假新高一数学预习讲解+训练（人教A版2019）

第07讲 基本不等式 【学习目标】 1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 【知识结构】 【考点总结】 一、重要不等式及证明 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论． 证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”． 二、基本不等式 1．内容： ≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．证明： ∵a＋b－2＝()2＋()2－2· ＝(－)2≥0. ∴a＋b≥2. ∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．两种理解： (1)算术平均数与几何平均数： 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)几何意义： 如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD ∽ Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝. 这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立． 三、基本不等式的常用推论 1．ab≤2≤(a，b∈R)． 2.＋≥2 (a，b同号)． 3．当ab>0时，＋≥2； 当ab<0时，＋≤－2. 4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 四、基本不等式求最值 1．理论依据： (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为. (2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2. 2．基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值． (3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可． (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性． 【例题讲解】 【类型】一、利用基本不等式比较大小 例1、设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D.<a<<b 答案　B 解析　方法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项．又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 方法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b. 反思与感悟　若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，同时注意能否取等号． 【训练】1、已知都是正数，且. 求证：（1）；（2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 【训练】2、设，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】证明：因为，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故不等式得证. 【训练】3、已知：、是正实数，求证：. 【答案】见解析. 【解析】由基本不等式得出，， 上述两个不等式当且仅当时，等号成立， 由同向不等式的可加性得，即. 【训练】4、已知，，，求证： （1）；（2）. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以， 又， 所以； （2）因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以. 【类型】二、利用基本不等式求最值 例2、(1)已知t＞0，则函数y＝的最小值为________． (2)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． (3)已知x≥，则f(x)＝有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案　(1)－2　(2)3　(3)D 解析　(1)y＝＝t＋－4≥2－4＝－2， 当且仅当t＝，即t＝1或t＝－1(舍)时，等号成立， ∴y的最小值为－2. (2)xy＝12·≤12·2 ＝12·2＝3， 当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立， ∴xy的最大值为3. (3)f(x)＝＝ ＝≥1. 当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立． 反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式