第04练 平面向量与三角形的“四心”-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第4练 平面向量与三角形的“四心” 一、单选题 1．下列关于平面向量的说法，正确的是（          ） A．若，且，则 B．若点是的重心，则 C．在平面直角坐标系中，已知，则在方向上的射影为 D．在平面直角坐标系中，已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【解析】当垂直，垂直时，满足，可以，故A错误； 连接AG，延长交BC于F，如图， 由点是的重心知是BC中点，所以, 所以，故B正确； 由可知，所以在方向上的射影为，故C错误； 当与同向共线时，可得，此时满足，但与的夹角为零角，故D错误. 故选：B 2．已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】取的中点为，连接，如下图所示： 因为G为△ABC的重心，所以， 因为，， 所以， 所以， 又，当且仅当时取等号； 所以的最小值为. 故选:C. 3．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(       ) A． B．1 C．2 D． 【解析】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1． 故选：B． 4．如图，已知O为重心，且．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【解析】连接并延长交与于点，如图所示 因为O为重心且，所以是的中点，且， 所以. ， 所以， 所以. 设， 因为，则， 所以，， 由余弦定理，得 所以，解得. 所以的值为. 故选：C. 5．如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为G是△ABC的重心，所以 由于M､G､N共线，所以，即 所以 （当且仅当即时取等号） 故选：D 6．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（       ） A． B． C． D． 【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点 设，则，则 设 ∵三点共线，则，即 即 故选：D． 7．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 则的方向为∠BAC的平分线的方向. 又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同. 而＝＋λ， 所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 故选：. 8．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（       ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】条件可化为， 故 故，动点P的轨迹一定通过的垂心． 故选：D 9．已知在中，，，设是的内心，若，则（       ） A． B． C． D． 【解析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系： 设的内切圆的半径为，则，解得 故，则 因为，所以，即，解得，故. 故选：C 10．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 11．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】是三角形的重心，所以， ，A错误. 根据欧拉线的知识可知，B选项正确. ，所以C选项正确. ，所以D选项正确. 故选：A 12．中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】 在的角平分线上，同理在的角平分线上， 点为三角形的角平分线的交点 故点是三角形的内心.