专题26 函数的奇偶性-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

函数的奇偶性 一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1． 函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. （1）奇偶性是整体性质； （2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2. 奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 3. 用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且=-，则既是奇函数，又是偶函数 二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、关于函数奇偶性的常见结论 奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）. 例1：判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 【解答】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数. 【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (4) ， ∴f(x)为奇函数. 例2：函数奇偶性的应用 f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为 ． 【解答】 -1 【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系． ， ． 当时，， 而， 在上的最小值为-1． 例3：函数奇偶性的综合应用 已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间． 【解答】[0，1]和（―∞，―1] 【解析】 ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数． 设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数． ∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数． ∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数． 同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数． ∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]． 巩固练习 一．选择题（共7小题） 1．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（　　） A． B．f（﹣1）＝