专题20 充分条件与必要条件-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

充分条件与必要条件 一、充分条件、必要条件、充要条件的概念 1. 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. 2. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. PS：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到. ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达. 二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. PS：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 例1：若: ， : ，则是的什么条件？ 解：∵: 或, : ∴且,∴是的必要不充分条件． 例2：已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.　 X　　 O　　 3　 -1　 1　 2　 P　　 Q　　 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看PQ， pq，但qp，所以选择（A）. 例3：设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【解析】 （1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0， 于是|x+y|=|x|+|y| 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0， 当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|. 当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|. 总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|. （2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2， 即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy， ∴xy≥0. 综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0． 例4：已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围. 【答案】 【解析】由解得， 又由解得， p是q的充分不必要条件，所以 或 解得． 巩固练习 一、单选题 1．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（       ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．“关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（       ） A．-4≤a≤0 B．-4<a≤0 C．-4≤a<0 D．-4<a<0 二、多选题 5．使成立的一个充分条件可以是（       ） A． B． C． D． 6．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 7．下列叙述中正确的是（       ） A．，若二次方程无实根，则 B．若，则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 8．设全集，则下面四个命题中是“”的充要条件的命题是（       ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 10．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________