专题15 基本不等式-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

基本不等式 一、基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 PS： 可以变形为：，可以变形为：. 二、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 注： 1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 四、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. PS： 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 当a=b取等号，其含义是； 仅当a=b取等号，其含义是. 综合上述两条，a=b是的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 例1：，，给出下列推导，其中正确的有 . （1）的最小值为； （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）. （2）∵，，∴（当且仅当时取等号）. （3）∵，∴， （当且仅当即时取等号） ∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即 例2. 已知、、都是正数，求证： 【解析】∵、、都是正数 ∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） ∴（当且仅当时，取等号） 即. 例3.已知，求证: 【解析】 （当且仅当即,等号成立）. 例4.已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值. 【解析】 方法一：∵，∴ ∵x＞0，y＞0，∴ （当且仅当，即y=3x时，取等号） 又，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16. 方法二：由，得 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9 ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴ （当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16. 巩固练习 一、单选题 1．已知，，，则下列各式中正确的是（       ） A． B．1 C．2 D．1 2．已知集合，则= A． B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（       ） A． B． C． D． 二、多选题 5．设正实数满足，则（       ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为2 6．若，，且，则的可能取值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（       ）