杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：解析几何中的对称问题

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 解析几何中的对称问题 一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，曲线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题，最终化归为点的对称问题．其中点关于直线的对称是最基本的对称，解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段中点在对称轴上． 1．点点对称： 点的坐标 对称中心 对称后点的坐标 (x0，y0) (0，0) (－x0，－y0) (x0，y0) (m，n) (2m－x0，2n－y0) 2．点线对称： 点的坐标 对称轴 对称后点的坐标 (x0，y0) x轴 (x0，－y0) (x0，y0) y轴 (－x0，y0) (x0，y0) 直线y＝x＋b (y0－b，x0＋b) (x0，y0) 直线y＝－x＋b (b－y0，b－x0) (x0，y0) 直线Ax＋By＋C＝0 (x0－2At，y0－2Bt) t＝(对称系数) 证明和书写过程如下：若点(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0对称后的点为(x，y)，则由方程组：可解的(对称系数t＝)，注意解答题的书写不要出现对称系数的说法； 3．线点对称： 曲线f(x，y)＝0关于点(m，n)对称的曲线为：f(2m－x，2n－y)＝0． 4．线线对称： 曲线f(x，y)＝0关于直线Ax＋By＋C＝0对称的曲线的方程为：f(x－2At，y－2Bt)＝0，特别的直线ax＋by＋c＝0关于直线Ax＋By＋C＝0对称的直线方程满足：ax＋by＋c＝(Ax＋By＋C)． 例1．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为 ． 常规解法： 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以 ， 解得a＝1，b＝0．又反射光线经过点N(2，6)，故所求直线的方程为＝， 即6x－y－6＝0． 快速解法： x＝4－3＝1，y＝－3＋3＝0，故反射光线经过点(1，0)和(2，6)，故所求直线的方程为6x－y－6＝0． 例2．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P使|PA|＋|PB|最小