第10讲 幂函数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第10讲 幂函数 【学习目标】 通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 【基础知识】 一、幂函数的概念 1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 三、幂函数的性质 1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 【考点剖析】 考点一：幂函数的定义 例1．（2021-2022学年河北省沧州市高一上学期期末）下列函数是幂函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选C. 考点二：幂函数的图象及应用 例2．（2021-2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试）函数和的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果时，那么. 其中正确的是（          ）. A．①④ B．① C．①② D．①③④ 【答案】A 【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ， 所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，所以，若，可得，所以②错误； 由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误； 当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ， 所以，若时，可得，所以④正确.故选A． 考点三：利用幂函数单调性比较大小 例3．比较下列各题中两个值的大小： （1）和       （2）和. 【解析】（1）考察幂函数，因为其在区间上是增函数，而且，所以. （2）考察幂函数，因为其在区间上是减函数，而且，所以. 考点四：幂函数图象与性质的综合应用 例4．（多选）（2021-2022学年广东省普宁市高一上学期期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（       ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】将点代入函数得：，则， 所以， ∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确； 函数在定义域上为增函数，所以B正确； 当时，，即，所以C正确； 若时， = =. 即成立，所以D正确. 故选BCD. 【真题演练】 1.（2021-2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（       ） A． B．3 C．或3 D． 2.（2021-2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中）已知幂函数（a是常数），则（       ） A．的定义域是R B．在单调递增 C．过定点 D．可能过定点 3.（2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（       ） A． B． C． D． 4. （多选）（2021-2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末）已知幂函数，则（       ） A． B．定义域为 C． D． 5.（多选）（2021-2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（       ） A． B． C． D． 6. （2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______． 7.（2021-2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________． 8.（2021-2022学年广西十八校高一10月联考）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【过关检测】 1. （2021-2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中）已知点（a，2）在幂函数的图象上，则函数f（x）的解析式是（       ） A． B． C． D． 2.下列命题中正确的是（       ） A．幂函数的图象一定