第07讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第07讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【学习目标】 1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 【基础知识】 一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 二、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 四、解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 五、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 六、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 七、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【考点剖析】 考点一：一元二次不等式的解法 例1．（2021-2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末）解下列不等式： (1)； (2). 【解析】 (1)因为， 所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3. 所以原不等式的解集为或. (2)因为， 所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝ 所以原不等式的解集为. 考点二：三个二次关系的应用 例2．（2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由题意得，即， 所以即，解得．故选B 考点三：含参数的一元二次不等式的解法 例3．解关于x的不等式 【解析】关于x的不等式 可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}，． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}， 考点四：简单分数不等式的解法 例4．（多选）（2021-2022学年湖南省怀化市高一上学期期末）集合也可以写成（       ） A． B． C．或 D． 【答案】ABD 【解析】对于集合，解不等式，即，解得，所以. 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确； 对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误； 对于D选项，等价于，故D正确.故选ABD 考点五：一元二次不等式恒成立问题 例5．（2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）已知关于的不等式对