第19讲 三角函数的应用-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第19讲 三角函数的应用 【学习目标】 1.会用三角函数解决简单的实际问题， 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 【基础知识】 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1.简谐运动的振幅就是A. 2.简谐运动的周期T＝. 3.简谐运动的频率f＝＝. 4.ωx＋φ称为相位． 5. x＝0时的相位φ称为初相． 二、三角函数模型的应用 1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 2.建立函数模型的一般步骤 3.解三角函数应用问题的基本步骤 4.运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 【考点剖析】 考点一：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 例1．简谐运动的相位与初相是（       ） A．， B．，4 C．，－ D．， 【答案】C 【解析】相位是，当时的相位为初相即．故选C 考点二：由图象研究函数的性质 例2．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.故选C 考点三：三角函数在物理中的应用 例3．（2021-2022学年山东省潍坊市安丘、高密、诸城高一下学期5月期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（       ） A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm 【答案】C 【解析】由，得.由函数的图象可知函数的周期为， 所以，即.故选C. 考点四： 三角函数模型的简单应用 例4．（多选）（2021-2022学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为且，，所以，，由，得是函数的一条对称轴方程，则，即，取，所以， 由，解得，故其单调增区间是，则减区间是，故选AC. 考点五：数据拟合问题 例5. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻的浪高数据的平均值如下表： （时） （米） (1)试在图中描出所给点； (2)观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【解析】 (1)散点图如下， (2)由散点图可知：应选择， 则，，，即， 将代入可得：，解得：， 该模型的解析式为：. (3)令，则， ，， 或或， 解得：或或，应在白天点到点之间训练. 【真题演练】 1．（2021-2022学年重庆市实验中学高一下学期第一次月考）心脏每跳动一次，就完成一次收缩