第17讲 三角恒等变换-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第17讲 三角恒等变换 【学习目标】 1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义 2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆） 【基础知识】 一、两角和与差的三角函数公式 1.两角和与差的余弦公式 2.两角和与差的正弦公式 3.两角和与差的正切公式 4.两角和与差的正切公式的变形 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)； 二、二倍角的三角函数 1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角公式的变形形式 (1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α； (2)cos2α＝； (3)sin2α＝. 3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 4.半角公式 三、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2.和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sincos. sinα－sinβ＝2cossin. cosα＋cosβ＝2coscos. cosα－cosβ＝－2sinsin. 四、辅助角公式 辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ). 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定或由sinφ＝和cosφ＝共同确定． 【考点剖析】 考点一：给角求值 例1．（2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中）（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为sin(59°+61°)=sin(120°)=sin(180°-60°)=sin60°=.故选D. 考点二：给值求值 例2．（2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一下学期5月联考）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ＝＝ ＝. 故选B. 考点三：给值求角 例3．（2021-2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中）设，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，且，所以，则，故选A． 考点四：辅助角公式的应用 例4．（2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末）当时，函数取得最大值，则_______________． 【答案】 【解析】当时，取得最大值（其中）， ∴，即， ∴． 考点五：两角和与差正切公式变形的应用 例5. （2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故， 故，同理， 故，故B成立. 而 故，故A错误. 而，故 因，故，所以， 又若，则， 解得， 因为， ，故无解，故D错误. 若，则，则， 这与矛盾，故D错误.故选B. 考点六：平方相加求值 例6．（2021-2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 由得， 两式相加得，得.故选A 考点七：三角函数式的化简 例7．（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中调研）化简______ 【答案】 【解析】因为所以 考点八：三角函数式的证明 例8．（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中调研）（1）证明： （2）求值： 【解析】（1）证明：因为左边 右边，所以原命题成立. （2）因为， 所以， 所以 【真题演练】 1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 (　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则 (　　) A． B． C． D． 3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 4.(2021年高考全国甲卷)若，则 (　　) A． B． C． D． 5.（多选）（2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中）已知，，则恒等于（       ） A．