第16讲三角函数的图象与性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第16讲 三角函数的图象与性质 【学习目标】 1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象 2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质 【基础知识】 一、正弦函数的图象 1.正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线． 2.正弦函数图象的画法 ①几何法 (ⅰ)利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象； (ⅱ)将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． ②五点法 (ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； (ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)． 二、余弦函数的图象 1.余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线． 2.余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 三、函数的周期性 1.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3.记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π. 4.周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期． 5.从等式“f(x＋T )＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期． 6.如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)． 四、正弦函数、余弦函数的性质 【解读】 1.正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． 2.正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 3.正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0. 五、三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 1.形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． 2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值． 3.形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 4.形如y＝或y＝(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求． 六、正切函数的图象与性质 1.正切函数的图象 2.正切函数的图象叫做正切曲线．正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的． 3.正切函数的性质 虽然正切函数y＝tanx在(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增． 【考点剖析】 考点一：三角函数图象的应用 例1．（2021-2022学年北京市第五十三中学2高一下学期六月月考）在区间内，函数与的图像交点的个数是（       ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，故是函数与的一个交点， 当时，则，因为，， 所以，则，即，所以，此时函数与无交点， 当时，，，所以，此时函数与无交点， 当时，故是函数与的一个交点， 综上可得函数与的图像在内有且仅有个交点；故选C 考点二：五点法作图 例2．（2021-2022学年黑龙江省绥化市部分学校高一上学期期末）已知函数． (1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合； (2)完成下列表格并在给