第15讲三角函数的概念及诱导公式-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第15讲 三角函数的概念及诱导公式 【学习目标】 1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 2. 借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式（，的正弦，余弦，正切） 3.理解同角三角函数的基本关系式： 【基础知识】 一、三角函数的概念 1.单位圆中三角函数的定义 2.三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 二、利用三角函数的定义求值的策略 1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 三、同角三角函数的基本关系 1.两个基本关系式 2.同角三角函数的基本关系式的变形形式 (1)平方关系变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (2)商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. 3.求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 4．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 4.三角函数求值中常见的变形公式 (1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. (2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号． 四、利用同角三角函数关系化简的常用方法 1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简； 2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负； 3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简. 五、简单的三角恒等式的证明思路 1.从一边开始，证明它等于另一边； 2.证明左、右两边等于同一个式子； 3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简. 六、诱导公式 (1)在公式一～四中，角α是任意角． (2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下： ①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα. 【考点剖析】 考点一：利用三角函数定义求值 例1．（2021-2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中）已知角的终边经过点，则角的正弦值为（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，则，，所以. 故选D. 考点二：确定三角函数值的符号 例2．（2021-2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测）下列各式的符号为正的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，， 所以，故B错误； 因为，所以，所以，故C正确； 因为 ，所以，故D错误.故选C. 考点三：确定角所在象限 例3．（2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考）若且，则角所在的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限， 所以满足且，角在第四象限.故选D 考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值 例4．（2021-2022学年