第14讲 任意角和弧度制-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第14讲 任意角和弧度制 【学习目标】 1. 了解任意角的概念和弧度制 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性 【基础知识】 一、角的相关概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2.角的表示： 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类： 4.相反角 如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. 二、象限角 1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限． 3.象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 4.已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 三、终边相同的角 1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2.对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一． 四、角的单位制 1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的. 2.长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 3.弧度数的计算 4.角度制和弧度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法． 五、角度与弧度的换算 1.角度制与弧度制的换算 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 六、扇形的弧长及面积公式 1.设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝αr，扇形的面积：S＝＝lr＝α·r2. 【考点剖析】 考点一：任意角的概念 例1．（多选）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误. 对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确. 对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确. 对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.故选BC 考点二：终边相同的角 例2．（2021-2022学年北京市北大附中高一下学期期中）将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：，当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确.故选B 考点三：象限角 例3．（2021-2022学年广东省韶关市田家炳中学高一上学期期末）下列四个角为第二象限角的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A选项，，故为第二象限角； 对于B选项，是第二象限角； 对于C选项，是第三象限角； 对于D选项，，故为第一象限角.故选AB. 考点四：弧度制 例4．（2021-2022学年上海市仙霞