课时作业(四) 第四节 基本不等式（word练习）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

课时作业(四)　基本不等式 [基础保分练] 1．(2021·广州揭阳模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2成立的条件是ab＞0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的必要不充分条件． 2．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A． B． C．－1 D．0 D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 C　解析：因为＋＝，所以a>0，b>0， 由＝＋≥2＝2， 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2. 4．若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 B　解析：由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4， ∴()2≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)， ∴|PA|＋|PB|≤2， ∴|PA|＋|PB|的最大值为2. 5．(2021·海南一模)如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的(　　) A．最大长度为8米 B．最大长度为4米 C．最小长度为8米 D．最小长度为4米 D　解析：设BC＝a米，CD＝b米，则ab＝4，所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2＝4，当且仅当2a＝，即a＝时取等号，∴围成该花园所需要篱笆的最小长度为4米． 6．(2021·河北邯郸摸底)已知x，y均为正数，且，，成等差数列，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．3＋2 D　解析：由题可知＋＝1，得x＋y＝(x＋y)(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立)． 7．(2021·内蒙古通辽月考)已知x>0，y>0，且＋＝2.若4x＋y＞7m－m2恒成立，则m的取值范围为(　　) A．(3，4) B．(－4，3) C．(－∞，3)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) C　解析：由题意可得4x＋y＝(4x＋y)(＋)＝(12＋＋)≥×(12＋2)＝12，当且仅当x＝，y＝6时取等号，得12＞7m－m2，解得m>4或m<3. 8．(2021·江苏南京调研)设a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则＋(　　) A．有最小值为2＋1 B．有最小值为＋1 C．有最小值为 D．有最小值为4 A　解析：根据题意，＝＝1＋，因为a＞0，b＞0，所以＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当＝，即a＋b＝a时等号成立，故＋有最小值为2＋1. 9．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________． 答案： 解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1， ∴＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号． 10．函数y＝的最大值为________． 答案： 解析：由题知y＝，当x－1＝0时，y＝0， 当x－1>0时，y＝≤＝， ∴当且仅当＝，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝. [技能提分练] 11．(多选)(2021·广东广州三校联考)设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．(a＋b)(＋)≥4 B．a2＞2a－1 C．＋≥a＋b D．≥ ACD　解析：(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，故A正确；当a＝1时，a2＝2a－1＝1，故B错误；＋＋a＋b＝＋a＋＋b≥2＋2＝2a＋2b，∴＋≥a＋b，故C正确；＝＝(a＋b)－≥2－＝，故D正确． 12．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　) A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 B　解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝，因为x≠y，所以＝>＝1，即乙的平均单价低，乙的方式更合适． 13．(2021·重庆一中模拟)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加全国高中数学联赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b 成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为(　　)