第10讲 空间几何体的结构特征、表面积及体积-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第10讲 空间几何体的结构特征、表面积及体积 知识点1 基本立体图形 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 [注意]　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 [注意]　球的截面的性质,1球的任何截面都是圆面；2球心和截面不过球心圆心的连线垂直于截面；3球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为． 知识点2 立体图形的直观图 1．画法：常用斜二测画法． 2．规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直； (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧 ＝π(r＋r′)l 公式的记忆技巧：不管圆柱、圆锥、还是圆台其侧面积公式都以为基础，故可以记忆为圆柱有两个底面，侧面积为，圆锥有一个底面，侧面积为，圆台有两个底面，但是上下底面面积不同，故侧面积可以记忆为 [注意]　(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；(2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl． 知识点4　空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 知识点5 几个与球有关的切、接常用结论 (1)设正方体的棱长为a，球的半径为R． ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a． (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝． (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1． 考点一 空间几何体的结构特征 解题方略： 1、空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定； (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可．　 2、①在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． ②按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．　 S原图形＝S直观图． 3、多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．　 （一）基本立体图形的特征 1、下列说法正确的是(　　) A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【解析】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，正确．故选D． 2、(多选)