假期作业（十三） 平面向量的数量积-【快乐假期】2022高一数学暑假大作业（新教材，人教版）

　　十三、平面向量的数量积　　　　　　　 １．平面向量的数量积 定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹 角为θ,则数量　　　　叫做a与b 的数量 积(或内积)．规定:零向量与任一向量的数 量积为　　　　． ２．平面向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰 (λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),‹a,b› ＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　　 　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线向 量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝０(b ≠０)． (２)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． １．已知向量a＝(２,３),b＝(３,２),则|a－b|＝ (　　) A．２　　　　　　　B．２ C．５ ２ D．５０ ２．(２０２１􀅰浙江卷,３)已知非零向量a,b,c,则 “a􀅰c＝b􀅰c”是“a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．(多选题)已知a,b为非零向量,且a＝(x１, y１),b＝(x２,y２),则下列命题中与a⊥b等 价的有 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a－b)２ ４．已知向量a,b满足|a|＝５,|b|＝６,a􀅰b＝ －６,则cos‹a,a＋b›＝ (　　) A．－３１３５ B．－ １９ ３５ C．１７３５ D． １９ ３５ ５．已知非零向量a,b满足|a|＝２|b|,且(a－ b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． ５π ６ ６．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,１０)(多选)已知O 为 坐标原点,点 P１(cosα,sinα),P２(cosβ, －sinβ),P３(cos(α＋β),sin(α＋β)),A(１, ０),则 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２ A．|OP１ → |＝|OP２ → | B．|AP１ → |＝|AP２ → | C．OA → 􀅰OP３ → ＝OP１ → 􀅰OP２ → D．OA → 􀅰OP１ → ＝OP２ → 􀅰OP３ → ７．(２０２１􀅰全国乙卷理,１４)已知向量a＝(１,３), b＝(３,４),若(a－λb)⊥b,则λ＝　　　　． ８．(２０２１􀅰全国甲卷理,１４)已知向量a＝(３, １),b＝ (１,０),c＝a＋kb．若a⊥c,则k ＝　　　　． ９．如图所示,ABCD 是正方 形,M 是BC 的中点,将正 方形折起使点A 与M 重 合,设折痕为EF,若正方 形面积为６４,求△AEM 的面积． １０．在△ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２,| BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线,l与 BC 交 于 点 D,E 为l上 异 于 D 的 任 意 一点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断AE →􀅰CB → 的值是否为一个常数, 并说明理由． 诺贝尔奖不设数学奖,但国际数学界有一 个代表数学界最高成就的大奖———菲尔兹奖． 菲尔兹奖于１９３２年在第九届国际数学家 大会上设立,１９３６年首次颁奖．该奖以加拿大 数学家约翰􀅰菲尔兹的名字命名,授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在４０岁以下 的数学家．该奖由国际数学联盟(简称IMU) 主持评定,每４年颁发一次,每次获奖者不超 过４人,每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金．奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像,还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限,做宇 宙主人”的格言． １９８２年,美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖,成为获此殊荣的第一位华人． 􀪋 􀪋 �