2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型解读】 【知识储备】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 4.简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法： 【题型精讲】 【题型一　不含参一元二次不等式的解法】 方法技巧 不含参一元二次不等式的解法 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一月考）求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）R 【解析】（1）同解于：或，解得：或， 所以原不等式的解集为. （2）可化为即或， 解得：或无解所以原不等式的解集为. （3）可化为：，解得：， 所以原不等式的解集为. （4）可化为：，所以，无解.所以原不等式的解集为. （5）可化为： ，即或， 解得：或所以原不等式的解集为. （6）．可化为：，所以,所以原不等式的解集为R. 【题型精练】 1. （2022·山东·济南一中期中）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为“”不能推出“”，而“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 2．（2022•海南高一期末）（多选）下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，，故解集为：； 对于B选项，，解集为； 对于C选项，，解集为； 对于D选项，，显然开口向上，，故不等式解集不是； 故选：BC 3. （2022·河北·高一期末）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【解析】（1）不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或； （2）不等式即为，解得， 因此，不等式的解集为； （3）不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或. 【题型二　含参一元二次不等式的解法】 方法技巧 含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 例2　（2022·山东济宁·高一期中）解关于x的不等式 【答案】具体见解析 【解析】解：关于x的不等式 可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}，． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}， 例3　（2022·河北·高一期末）解关于的不等式. 【答案】答案见解析. 【解析】不等式， 化为， 当时，解得或， 当时，解得R, 当时，解得或， 综上：当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集是R； 当时，不等式的解集是或； 【题型精练】 1．（2022·湖北十堰高一期末）设，