3.1函数的概念及其表示（精讲）-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

3.1 函数的概念及其性质 【题型解读】 【知识储备】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 4．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 5．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 6．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型精讲】 【题型一　函数的概念】 例1　（2022·河北·武安市第一中学高一期末）有对应法则f： （1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→； （2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2； （3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→； （4）A＝R，B＝R，x→2x＋1； （5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y. 其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)． 【答案】（1）(4) 【解析】（1）由函数的定义知，正确； （2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误； （3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误； （4）由函数的定义知，正确； （5）因为集合A不是数集，故错误； 故答案为：（1）(4) 例2　（2022·广东中山市月考）（多选）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，由图像可知，函数的定义域为，而集合，不符合题意； 对于B，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确； 对于C，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确； 对于D，由图像可知，图形中一个有两个值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确.故选：BC． 【题型精练】 1. （2022·山东·济南一中期中）（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A正确； B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B错误； C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C错误； D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D正确，故选：AD. 2．（2022·安徽宣城市·高一期末）下列可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，其对应函数的值域不是，错误； 对于，图象中存在一部分与轴垂直，该图象不是函数的图象，错误； 对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确； 对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；故选：． 【题型二　函数的定义域】 方法技巧 函数的定义域 （1）根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式. （2）已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，