专题10 一元一次方程的有关概念-2022年暑假新七年级数学预习讲解+训练（人教版）

专题10 一元一次方程的有关概念 【学习目标】 1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质． 【知识结构】 【考点总结】 一、方程有关的概念 (1)方程 定义：含有未知数的等式叫做方程． 如：2x＋1＝0，x＋y＝3. 重点：方程的两个条件 ①含有未知数，未知数可以是一个也可以是几个，一般用x，y，z等字母表示；②必须是等式． (2)方程的解和解方程 方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解． 重点 ：方程的解的判断 判断一个数是不是方程的解，可以将这个数代入原方程验证，只要左、右两边的值相等就是该方程的解． 解方程：求方程解的过程，叫做解方程． 区别：方程的解是一个数值，而解方程是求方程解的过程． (3)一元一次方程 定义：只含有一个未知数(元)，且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程． 一般形式可表示为：ax＋b＝c(a≠0)，其中x是未知数，a，b，c表示常数． 判断一个方程是不是一元一次方程，关键看方程是否满足三个条件： (1)方程中含未知数的式子必须是整式； (2)只含有一个未知数(元)； (3)未知数的次数是1. 如，x－2＝不是一元一次方程，因为方程中的分母中含有未知数； 2x＋y＝1不是一元一次方程，因为方程中含有两个未知数； x＋x2＝2不是一元一次方程，因为方程中未知数的最高次数是2. 二、等式的基本性质 (1)等式 用等号“＝”表示相等关系的式子叫等式． (2)等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式． 若A＝B，则A±C＝B±C. 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式． 若A＝B，且C≠0，则A×C＝B×C，＝. ①运用等式的基本性质1时，等式两边要同时加上(或减去)同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系． 比如，在等式2x－6＝0中，等式两边同时加上6，得2x－6＋6＝0＋6，即2x＝6；要防止在等式的一边加(或减)一个代数式，而在等式的另一边没有加(或减)这个代数式的情况发生． ②运用等式的基本性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母． 如，(a－5)x＝7，等式两边同除以a－5，所得的等式x＝就不一定成立，因为当a＝5时，没有意义． 三、利用等式的基本性质解方程 方程是含有未知数的等式，所以可以利用等式的基本性质解方程． 利用等式的基本性质解一元一次方程，也就是通过正确的变形，将方程化成未知数的系数为1的形式，即x＝a的形式． 步骤： (1)利用等式的基本性质1，在方程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数； (2)利用等式的基本性质2，在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解． 一元一次方程的几种形式及求解方法： ①x＋a＝b：方程两边都减去a，得x＝b－a； ②ax＝b(a≠0)：方程两边都除以a，得x＝； ③ax＋b＝c(a≠0)：方程两边都减去b， 得ax＝c－b.再在方程的两边都除以a，得x＝. 【例题讲解】 【类型】一、一元一次方程的有关概念 例1．（2022·北京朝阳·七年级期中）下列是一元一次方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，故该选项符合题意； B、含有两个未知数，故该选项不符合题意； C、最高次数是2次，故该选项不符合题意； D、最高次数是2次，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键． 例2．（2022·湖南长沙·七年级期末）下列方程中是一元一次方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元一次方程的定义，对选项逐个判断即可，一元一次方程为只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程． 【详解】 解：A、，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、，含有一个未知数，并且未知数的次数为1，且为整式方程，是一元一次方程，符合题意； C、，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、，未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 故选B 【点睛】 此题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 例3．（2022·湖南娄底·七年级期末）下列方程中，是一元一次方程的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一元一次方程的定义对各方程分别进行判断即可． 【详解】 解：