专题12 一元一次方程的实际应用-2022年暑假新七年级数学预习讲解+训练（人教版）

专题12 一元一次方程的实际应用 【学习目标】 1、会列方程解简单应用题。 【知识结构】 【考点总结】 一、几何图形中常用的公式 (1)常用的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； 圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h； 圆锥的体积＝3 (1)×底面积×高＝3 (1)πr2h. (2)常用的面积、周长公式 长方形的面积＝长×宽； 长方形的周长＝2×(长＋宽)； 正方形的面积＝边长×边长； 正方形的周长＝边长×4； 三角形的面积＝2 (1)×底×高； 平行四边形的面积＝底×高； 梯形的面积＝2 (1)×(上底＋下底)×高； 圆的面积＝πr2； 圆的周长＝2πr. 二、形积变化问题中的等量关系 形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况： (1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积． (2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长． (3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系． 三、等长变形问题 等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变． 解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程． 面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键． 四、商品销售中与打折有关的概念及公式 (1)与打折有关的概念 ①进价：也叫成本价，是指购进商品的价格． ②标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格． ③售价：商家卖出商品的价格，也叫成交价． ④利润：商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词语表示所得利润． ⑤利润率：利润占进价的百分比． ⑥打折：出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几卖出即为打折． 打几折，就是以原价的百分之几十或十分之几卖出． 如打8折就是以原价的80%卖出． (2)利润问题中的关系式 ①售价＝标价×折扣； 售价＝成本＋利润＝成本×(1＋利润率)． ②利润＝售价－进价＝标价×折扣－进价． ③利润＝进价×利润率；利润＝成本价×利润率；利润率＝＝. 五、列方程解应用题的一般步骤及注意事项 (1)列方程解应用题步骤 ①审：审题，分析题中已知的是什么、求的是什么，明确各数量之间的关系． ②找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系． ③设：设未知数(一般求什么就设什么)． ④列：根据相等关系列出方程． ⑤解：解所列的方程，求出未知数的值． ⑥验：检验所求出的解是否符合实际意义． ⑦答：写出答案． (2)列方程解应用题应注意 ①列方程时，要注意方程两边应是同一类量，并且单位要统一． ②解、答时必须写清单位名称． ③求出的方程的解要判断是否符合实际意义，即必须检验． 六、利用一元一次方程确定商品的利润 与商品的利润有关的实际问题主要有以下三类： (1)确定商品的打折数 利用一元一次方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，根据相等关系列出方程．利润中的求最低打折数的问题，要根据与打折有关的等量关系： 标价×打折数－进价＝利润，利润＝进价×利润率． (2)确定商品的利润 根据商品的售价和利润率确定商品的利润，也是一元一次方程的应用之一．用到的等量关系是： 进价×(1＋利润率)＝售价． (3)优惠问题中的打折销售 商场中的某些优惠销售是购买数量超过一定的范围才打折或超过的部分打折．要分段分情况计算不同的利润． 七、等量关系的确定 列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系． 一般可从以下几个方面确定等量关系： (1)抓住问题中的关键词，确定等量关系． 如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词． (2)利用公式或基本数量关系找等量关系． (3)从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系． 八、未知数的设法 较复杂的问题，未知量可能有两个或两个以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便． 未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数．另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答． (1)直接设未知数 直接设未知数，就是题目中问什么就设什么．对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难． (2)间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程． (3)设辅助未知数 在列方程解