专题16 集合的含义及表示-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课（全国通用）

集合的含义及表示 一、集合 1. 集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集. （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它； （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象. 2. 集合中元素的3个特征： (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 3. 元素与集合间的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA； (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作. 4. 集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作； (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集； (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 5. 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R. 二、集合的表示方法 1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…. 3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内. 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 例1：集合的概念及元素的性质 集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？ 【解答】是 【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有， ，即. 例2：元素与集合的关系 下列六个关系中，正确的关系是 . （1）0 （2）0{－1，1} （3）{0} 【解析】（2） 【解析】（1）0不是正整数，故错误； （2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确； （3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误； 例3：集合中元素的性质 ，则M=( ) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4} 【解答】D 【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以； 由，所以-1≤a≤4； 当a=-1时，符合题意； 当a=0时，不符合题意； 当a=1时，不符合题意； 当a=2时，符合题意； 当a=3时，符合题意； 当a=4时，符合题意. 故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确. 例4：集合的表示方法 分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合. 【解答】；． 【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件 因此，用描述法表示为； 方程有两个实数根； 因此，用列举法表示为. (2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15<x<25， 因此，用描述法表示为； 大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24， 因此，用列举法表示为. 巩固练习 一．选择题（共4小题） 1．下列关系中正确的个数是（　　） ①；②；③0∈N*；④π∈Z． A．1 B．2 C．3 D．4 2．若1∈{x，x2}，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．0或1 D．0或1或﹣1 3．已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x+1∈A}，则B＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 4．已知集合A＝{a+1，a2+4a﹣9，2021}，若﹣4∈A，则实数a的值为（　　） A．﹣5 B．1 C．5或﹣1 D．﹣5或1 二．多选题（共4小题） （多选）5．以下元素的全体能够构成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣1＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形 （多选）6．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}，下列关系正确的是（　　） A．（1，2）∈B B．A＝B C．0∉A D．（0，0）∉B （多选）