专题11.1 三角形的三边关系（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题11.1 三角形的三边关系 【典例1】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论． （1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　 　AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果， （2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果， （3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果． 【解题过程】 解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边， （2）△BPC的周长＜△ABC的周长． 理由：如图②，延长BP交AC于M， 在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC， 两式相加得BP+PC＜AB+AC， 于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长； （3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长， 理由：如图③，分别延长BP1、CP2交于M， 由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M， 可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC， 于是得：四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长． 1．（2021秋•博白县期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 首先能够找到所有的情况，然后根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解题过程】 解：根据三角形的三边关系，得5，7，9；7，9，13；5，9，13都能组成三角形． 故有3个． 故选：C． 2．（2022春•东台市期中）为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（　　） A．6m B．18m C．26m D．20m 【思路点拨】 由PA＝12m，PB＝13m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案． 【解题过程】 解：∵PA＝12m，PB＝13m， ∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB， 即1m＜AB＜25m， ∴AB间的距离不可能是：26m． 故选：C． 3．（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　） A．7 B．10 C．11 D．14 【思路点拨】 分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可． 【解题过程】 解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8； ②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10； ③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10， 故选：B． 4．（2022春•江阴市期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为28，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】 依据△ABC的周长为28，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜14，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10，12． 【解题过程】 解：∵△ABC的周长为28，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴2＜BC＜28﹣BC， 解得2＜BC＜14， 又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴AC为整数， ∴BC边长为偶数， ∴BC＝4，6，8，10，12， 即BC的长可能值有5个， 故选：B． 5．（2021秋•九龙坡区期末）已知a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0．若b为奇数，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．8或10 C．10或12 D．8或10或12 【思路点拨】 根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可． 【解题过程】 解：∵|a﹣4|+（c﹣3）2