课后巩固(四)等差数列的性质及实际应用（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P77] 1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12　　　　B．8　　　　C．6　　　　D．4 B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.] 2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项的值为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 C　[设cn＝an＋bn，{cn}也是等差数列，设其公差为d，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.所以cn＝100.从而c37＝100.] 3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布(　　) A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 B　[设女子每天的织布数构成的数列为{an}，由题设可知{an}为等差数列，且a1＝5，a30＝1，故公差d＝＝－，故a11＝a1＋(11－1)×＝5－＝.] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第1个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 B　[设该网店从第1月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.] 5．(多选题)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 ABD　[由题意得：插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4… .所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7.] 6．等差数列{an}中，a2＝3，若从第5项开始为负数，则公差d的取值范围是________． 　[∵等差数列{an}从第5项开始为负数，即∴解得－≤d＜－1.∴公差d的取值范围是.] 7．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问依次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为________斤． 9　[由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为a1，粗的一端的重量为a5，可知a1＝2，a5＝4，根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6⇒a3＝3，中间三尺为a2＋a3＋a4＝3a3＝9.] 8．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________． 2　[因为数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1，所以a1＋a2m－1＝2am＝2.] 9．看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此给出简要的说明． 解　由题意，在等差数列中，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 因为12＝＝＝＝， 所以12＝. 10．已知数列{an}为等差数列，且公差为d． (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d． 解　(1)等差数列{an}中，∵a15＝8，a60＝20， ∴解得 ∴a105＝＋104×＝32. (2)∵数列{an}为等差数列，且公差为d，且a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，