课后巩固(八) 等比数列的性质及应用（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P86] 1．已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝(　　) A．－2　　　B．－　　　C．　　　　D．2 B　[∵a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.] 2．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C　[由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.] 3．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为lg 2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为lg 2的等比数列 A　[因为数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，所以an＝2×4n－1＝22n－1，log2an＝log222n－1＝2n－1，所以数列{log2an}是公差为2的等差数列．] 4．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝5，a2a3＝－3，则＋＋＋＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[＋＋＋＝＋. ∵在等比数列{an}中，a1a4＝a2a3＝－3， 所以＋＋＋＝＝－.] 5．(多选题)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有(　　) A．是公比为的等比数列 B．{a2n}是公比为4的等比数列 C．{2an}是公比为4的等比数列 D．{anan＋1}是公比为2的等比数列 AB　[由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N*，an≠0，且公比为q＝＝2. 对于A选项，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，B选项正确；对于C选项，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，C选项错误；对于D选项，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，D选项错误．] 6. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则________． 24　[依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24.] 7．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________． 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②　由①②解得a1＝，d＝－1.] 8．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an(n∈N*).设bn＝，n∈N*，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 　[由an＋1＝an(n∈N*)可得，数列{an}是首项和公比均为的等比数列，所以an＝，则bn＝＝(n－2λ)2n，又因为{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n＋1－2λ)2n＋1－(n－2λ)2n＝(n＋2－2λ)2n＞0恒成立，即n＋2－2λ＞0恒成立，所以2λ＜(n＋2)min＝3，所以λ＜.] 9．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(结果精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期) 解　设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an， 由条件可得，数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84， 设an＝0.5，则0.84n＝0.5，两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n≈4. 即这种物质的半衰期大约为4年． 10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解　因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)， 将cn＝2n＋3n代入上式得，[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]·[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]， 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，解得p＝2或p＝3. 11．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天又向前迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是(lg 2≈0.3，