课后巩固(二) 数列通项公式、递推公式与前n项和公式及应用（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P73] 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n(n∈N*) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1 C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1 B　[观察数列的前五项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1.] 2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　) A．－　 　　B．　 　　C．－　 　　D． B　[对n依次取2，3，4，5，得a2＝(－1)2×2×＝，a3＝－，a4＝－，a5＝.] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 C　[因为an＝n－7＋2＝－，所以易知当n＝12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项．] 4．(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an} ，则(　　) A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1 C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2 BC　[由题意知：a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝，∴a4＝＝10，故A错误；an＋1＝an＋n＋1，故B正确；a100＝＝5 050，故C正确；2an＋1＝(n＋2)(n＋1)，anan＋2＝，显然2an＋1≠anan＋2，故D错误．] 5．(多选题)若数列{an}满足an＋1＝ a1＝，则数列{an}中的项的值可能为(　　) A． B． C． D． ABC　[数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为：，，，.] 6．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________． 255　[因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.] 7．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为________． 已巳　[由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个为一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则30÷10＝3，2049年的天干为已，30÷12＝2余6，2049年的地支为巳，故2049年为已巳年．] 8．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________． 　[方法一　由已知可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝. 方法二　an＝··…···a1＝·1＝.] 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式． 解　当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5， 又当n＝1时，a1＝0不符合上式． 故an＝ 10．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图(乙)的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图(丙))，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值； (2)求出数列{an}的递推公式． 解　(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n＋1条“雪花曲线”的四条边． ∴an＋1＝4an.∴数列{an}的递推公式为an＋1＝4an. 11．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3