课后巩固(九) 等比数列的前n项和公式及应用（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P88] 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　　) A．8　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．1 A　[∵(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8.] 2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　) A．1 B．0 C．1或0 D．－1 A　[∵Sn－Sn－1＝an(n≥2)，又{Sn}是等差数列，∴an(n≥2)为定值，即等比数列{an}为常数列．∴q＝＝1(n≥2).] 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 D　[设等比数列{an}的公比为q，由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∵a1≠0，q≠0，∴q＝－2，则＝＝－11.] 4．(多选题)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　) A．an＝ B．an＝2n＋1 C．Sn＝32－ D．Sn＝2n＋4－16 AC　[由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5.设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0， 解得q＝或q＝1(舍去)， 所以S5＝＝31，解得a1＝16. 所以数列{an}的通项公式为 an＝16·＝， Sn＝＝32－.] 5．已知函数f(x)＝log3x，给出三个条件：①f(an)＝2n；②f(an)＝n；③f(an)＝.从中选出一个能使数列{an}成等比数列的条件，在这个条件下，数列{an}的前n项和Sn＝(　　) A．3n－1 B．2n＋1－1 C．(3n－1) D．(3n－1) D　[已知函数f(x)＝log3x，定义域为(0，＋∞). 若选①，则f(an)＝log3an＝2n， ∴an＝32n，∴＝＝32n＋1－2n＝32n不是常数，则{an}不是等比数列； 若选②，则f(an)＝log3an＝n, ∴an＝3n，∴＝＝3(n＋1)－n＝3是常数， 则{an}是以a1＝3为首项，以3为公比的等比数列，则 Sn＝＝(3n－1)； 若选③，则f(an)＝log3an＝， ∴an＝3， ∴＝＝3－不是常数， 则{an}不是等比数列．] 6．对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________． 30　[由题设可得an＝2n，故＝2(n≥2)， 故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2，故S4＝＝30.] 7．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________． 　[设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1. ∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－， ∴S4＝＝.] 8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝90，设bn＝log2an，那么数列{bn}的前15项和为________． 120　[设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＋a3＝30，S4＝90， 若q＝1，则a1＝15，S4＝4a1＝60≠90，不成立， 所以q≠1，则a1＋a1q2＝30，＝90，解得a1＝6，q＝2， 所以an＝a1qn－1＝3·2n，所以bn＝log2an＝n， 所以数列{bn}的前15项和为S15＝＝＝120.] 9．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项an； (2)求数列{an}的前n项和Tn. 解　(1)因为an＋1＝2Sn(n∈N*)， 所以an＝2Sn－1(n≥2)， 两式相减得：an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an(n≥2)， 所以an＋1＝3an，即＝3(n≥2)， 又a1＝1，a2＝2S1＝2a1＝2，则＝2不满足上式， 所以数列{an}是从第2项开始，以3为公比的等比数列， 所以an＝ (2)由(1)可得an＝ 所以当n＝1时，T1＝1， 当n≥2时，Tn＝1＋2·30＋2·31＋2·32＋…＋2·3n－2＝1＋2＝3n－1， 综上：Tn＝3n－1. 10．在数列{an}中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1. (1)设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)证明　由已知得an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1， 又a1＝1，∴b1＝1， ∴{bn}是首项为1，公