课后巩固(六) 等差数列前n项和的应用（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P81] 1．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天　　　B．16天　　　C．17天　　　D．18天 A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴Sn＝10n＋×10＝1 200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天．] 2.＋＋＋＋…＋等于(　　) A． B． C． D． C　[通项an＝＝， ∴原式＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝(1＋－－)＝(－－).] 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　[设等差数列{an}的公差为d，由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 4．(多选题)已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，则(　　) A．a7＞0 B．S7最大 C．S14＞0 D．S13＞0 ABD　[因为S5＝S9，故a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＋a8＝0，因为等差数列{an}为递减数列，故公差d＜0，所以a7＞0，a8＜0，故AB正确．又S14＝7(a7＋a8)＝0，S13＝13a7＞0，故C错误，D正确．] 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　　) A．71 B．72 C．89 D．90 C　[设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89.故最年长者的年龄为89.] 6．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． S5　[∵ ∴∴Sn的最大值为S5.] 7．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，则k的值为________． 20　[设等差数列{an}的公差为d， 由解得 ∴Sn＝na1＋＝39n－n(n－1)＝－n2＋40n ＝－(n－20)2＋400. ∴当n＝20时，Sn取得最大值， 对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，则Sk为数列{Sn}的最大值，因此，k＝20.] 8．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n(n＝1，2，…，41 )个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小． 21　[设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为f(n)，则f(n)＝10(1＋2＋3＋…＋n－1)＋10(1＋2＋3＋…＋41－n)， 所以f(n) ＝20×＋20× ＝10(n2－n＋n2－83n＋41×42)＝10(2n2－84n＋1 722) ＝20(n2－42n＋861)＝20[(n－21)2＋420]， 所以当n＝21时，f(n)取得最小值．] 9．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 解　(1)设{an}的公差为d． 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通项公式为an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d， Sn＝. 由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}． 10．记Sn为数列{an}的前n项和，已知点(n，an)在直线y＝10－2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是(　　) A．(8，14] B．(14，18] C．(18，20] D． C　[由