课后巩固(七) 等比数列的概念（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P84] 1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…；②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．] 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.] 3．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D． A　[由题意可知3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.因为a>0，b>0， 所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2＋4＝8， 当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”，所以＋的最小值为8.] 4．(多选题)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件是(　　) A．an＋1＝anq(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝anan＋2≠0 D．an＋1＝ ABD　[对于A．an＋1＝anq当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B．an＝a1qn－1当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C．根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D．an＋1＝当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误．] 5．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________． 18　[由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3. ∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.] 6．已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2－5x＋3的两个零点是a1、a5，则a3＝________． 　[由韦达定理可知a1＋a5＝5, a1a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a＝a1a5＝3，∴a3＝.] 7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________． 80，40，20，10　[设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80，40，20，10.] 8．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an. 解　设等比数列{an}的公比为q.依题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， ∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20， ∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去). 又a1＝＝2，∴an＝2n. 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2， ∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列． ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. 10．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．32 D　[设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32.] 11．(多选题)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，则公比q的值可以是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ BD　 [∵bn＝an＋4，∴an＝bn－4，∵数列{bn}有连续四项在集合{－50，－20，22，40，85}中，∴数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中．又∵数列{an}是公比为q的等比数列，∴在集合{－54，－24，18，36，81}中，数列{an}的连续四项只能是：－24，36，－54，81或81，－54，36，－2