课后巩固(十) 等比数列前n项和的实际应用（Word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P90] 1．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． C　[因为an＝＝1－， 所以数列{an}的前5项和 S5＝5－＝5－1＋＝.] 2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，a3＝10，{an＋1－an}是等比数列，则数列{an}的前8项和S8＝(　　) A．376 B．382 C．749 D．766 C　[由已知得，a2－a1＝3，a3－a2＝6， 而{an＋1－an}是等比数列，故q＝2， ∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＝3＋6＋…＋3×2n－2＝＝3×2n－1－3， ∴an－a1＝3×2n－1－3，化简得an＝3×2n－1－2， S8＝a1＋a2＋…＋a8＝3×(1＋2＋…＋27)－2×8＝3×－16＝3×28－19＝749.] 3.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c的2倍．已知标准音a1的频率为440 Hz，那么频率为220 Hz的音名是(　　) A．d B．f C．e D．d D　[由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为220 Hz的音名为等比数列的首项，标准音a1为第n项，则220·()n－1＝440，解得n＝7，从标准音a1开始，往左数7个的音名是d．] 4．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　) A．an＋1＝an＋150 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 A　[依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150.] 5．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝n2＋1，则{an}是等差数列 B．若Sn＝3n－1，则{an}是等比数列 C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5 D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0, 则S1·S3＞S BC　[若Sn＝n2＋1，当n≥2时，an＝2n－1，a1＝2不满足an＝2n－1，故A错误．若Sn＝3n－1，则an＝a1＝2满足an＝2·3n－1，所以{an}是等比数列，故B正确．若{an}是等差数列，则S9＝＝9a5，故C正确．S1·S3－S＝a(1＋q＋q2)－a(1＋q)2＝－aq＜0，故D错误．] 6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________． －1　[由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.] 7．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第六名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元． 126　[设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走后的剩余资金为a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，∴an＋1＋2＝(an＋2)，∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)·，∴an＝(a1＋2)·－2.∴第六名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元．] 8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d． 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. 9．某工厂2019年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2019年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，