4.3.1 第1课时 等比数列的概念（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 在学习等比数列的定义和通项公式的过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P18] 1．等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 2．等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式是G2＝ab． 以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式是an＝a1qn－1．(q≠0) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材练习改编)下列数列为等比数列的是(　　) A．2，22，3×22，… B．，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0，0，0，… B　[A，C，D不是等比数列，A中不满足定义，C，D中的项可为0，不符合定义．] 3．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．±1 D．2 C　[设2＋和2－的等比中项为a， 则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.] 4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________． －729　[a7＝a4q7－4＝27×(－3)3＝－729.] [对应学生用书P18] 命题角度1　等比数列的判定 判断下列数列是否为等比数列． (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N*)，∴此数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1，＝2，∴≠.∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为A． 命题角度2　根据递推公式判定与证明等比数列 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 解　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2). 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [变式1]　将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． 证明　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0，∴＝， ∴数列{an}是首项为1，公为为的等比数列． [变式2]　将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 证明　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1). 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N*)，所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. [方法总结] 1．判定等比数列，要抓住三个要点 ①从第2项起；②要判定每一项，不能有例外；③每一项与它的前一项的比是同一个常数，且不能为0. 2．判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [训练1]　(多选题)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2，4，－8　　　　　 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4