4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 1．在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养． 2．在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P15] 某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 解　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为 a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋×＝500， 而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24 h内能构筑成第二道防线． [方法总结]　与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn，还是求项数n. [训练1]　某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止． (1)设11月n日当天新感染人数为an，求{an}的通项公式(用t表示)； (2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． 解　(1)由题意得， 当n≤t时，感染人数是公差为50，首项为20的等差数列， 此时an＝20＋50(n－1)＝50n－30，(1≤n≤t). 当n≥t＋1时，感染人数是公差为－30，首项为50t－30的等差数列， 此时an＝50t－30－30(n－t)＝－30n＋80t－30，(t＋1≤n≤30) 故an＝1≤n≤30，n∈N*. (2)由(1)可知，前t日患者共有S1＝＝25t2－5t人． 又第t＋1日有－30(t＋1)＋80t－30＝50t－60人， 第30日有－30×30＋80t－30＝80t－930人． 故t＋1日至30日共30－t天的时间里共有 S2＝ ＝－65t2＋2 445t－14 850人． 故1到30日共有S1＋S2＝25t2－5t－65t2＋2 445t－14 850＝－40t2＋2 440t－14 850(人). 故－40t2＋2 440t－14 850＝8 670⇒t2－61t＋588＝0， 即(t－12)(t－49)＝0，又1≤t≤30, 故t＝12. 当天新增患病人数为50×12－30＝570(人). 故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人． [知能解读] 1．等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn＝na1＋d＝dn2＋n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)； 当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求数列通项公式及前n项和的最小值问题． 第二步，精读题目挖已知条件：{an}是等差数列，且已知第10项及前5项和． 第三步，建立联系寻解题思路：(1)利用通项公式及其前n项和公式建立方程组求解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解