4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1．经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P13] 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项与第n项的等差中项的n倍．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　　　　　　　　 B．54 C．36 D．18 A　[由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18， 所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.] 3．在等差数列{an}中，已知a10＝10，则S19＝________． 190　[S19＝＝＝190.] 4．(教材练习改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________． 48　[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，故S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.] [对应学生用书P13] [知能解读]　在a1，d，n，an，Sn中，“知三求二” (1)在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d． 两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项、前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中，已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． (1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　　 　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n A　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 由S4＝0，a5＝5，可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.] (2)(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 25　[设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a6＝2a1＋6d＝2. 因为a1＝－2，所以d＝1. 所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.] [方法总结]　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值． (2)利用等差数列的性质解题． [训练1]　设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　) A．13　　　　B．35　　　　C．49　　　　D．63 D　[∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8， ∴S9＝＝＝63.] [训练2]　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解　由得解方程组得或 已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，判断这个数列是否是等差数列，并求其通项公式bn. 解　当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， ∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2 ＝(b－b＋2bn－2bn－1). 整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2). ∴{bn}为等差数列． 又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1， ∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. [方法总结]　已知含Sn和an的递推关系式时，可利用an＝Sn－Sn－1转化成an(或Sn)的关系式求解，但一定要验证当n＝1时，是否适合一般式． [训练3]　设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－. (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3). 所以4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2). 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等